Du français aux mathématiques - Corrigé

Écrire les phrases suivantes sous forme d'un énoncé mathématique comportant un ou plusieurs quantificateurs.

1. `n`  est un entier naturel pair.
\(\exists k\in \mathbb N;\,n=2k\)

2.  `n`  est un entier naturel pair mais n'est pas multiple de 4.
\(\exists k\in \mathbb N;\,n=4k+2\)  

3. 2 admet un antécédent par la fonction `f` .
\(\exists x\in \mathbb R;\,f(x)=2\)

4. Tout réel possède un antécédent par `f` .
\(​\forall c \in \mathbb R,\,\exists x\in \mathbb R;\, f(x)=c\)

5. La fonction `f`  ne s'annule pas sur `\mathbb R` .
\(\forall x\in \mathbb R,\, f(x)\ne 0\)

6. La fonction `f`  s'annule une seule fois sur `\mathbb R` .
\(\exists !x\in \mathbb R;\, f(x)=0\) .

7. `f`  ne prend jamais deux fois la même valeur. On dit que `f` est injective.
\(\forall x\in\mathbb{R},\,\forall x'\in\mathbb{R},\,x\ne x'\Rightarrow f\left(x\right)\ne f\left(x'\right)\)
ou encore  \(\forall x\in\mathbb{R},\,\forall x'\in\mathbb{R},\,f\left(x\right)=f\left(x'\right)\Rightarrow x=x'\)

8. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
\(\forall k\in \mathbb Z,\,\exists n\in \mathbb Z;\,n>k\)

9. Certains réels sont strictement inférieurs à leur carré.
\(\exists x\in \mathbb R;\, x

10. Tout intervalle non vide de `\mathbb R`  contient un rationnel. On dit que \(\mathbb Q\)  est dense dans \(\mathbb R\) .
\(\forall a\in\mathbb R,\forall b\in]a;+\infty[, \exists q\in \mathbb Q; a